Джони Деп е роден на 9 юни 1963 година в американския град Оуенсбъроу, Кентъки. Той е най-малкото от четирите деца в семейството. Има брат и две сестри.
Най-ранният му детски спомен е за улавянето на „светещи същества, които са едновременно очарователни и красиви“.
В интервю пред Опра Уинфри актьорът казва, че е сменял дома си „може би 40 пъти“, преди да навърши 15 години.
Бащата на Джони го наричал „Едноокия”, защото като малък детето било подложено на операция за корекции на зрението, а след това, докато се възстановявал от нея, трябвало да носи лепенка на едното си око. Зрението му остава лошо, поради което му се налага постоянно да носи очила.
Джони определя баща си като „наранено момче, което иска да се разплаче и най-вече да се измъкне”, като „мил“, „срамежлив“ и „стоик“, но се случвало да го бие с колана си по заповед на майка му.